若等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0，从{an}中抽取部分项按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，已知{bn}为等比数列，且b1=a2，b2=a5，b3=a14．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记数列{an}

Question

若等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，从{a_n}中抽取部分项按照原来的顺序组成一个新数列{b_n}，已知{b_n}为等比数列，且b₁=a₂，b₂=a₅，b₃=a₁₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若b_m=a_k，求S_k-T_m，（结果用只含m的式子表示）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得a52＝a2•a14，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），d≠0，解得d=2．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
又∵b₁=a₂=3，b₂=a₅，=9，
∴公比q=3，{b_n}的通项公式为bn＝3n；
（Ⅱ）数列{a_n}的前k和为Sk＝k+(k(k−1))/(2)×2＝k2．
数列{b_n}的前m和为Tm＝(3−3m+1)/(1−3)＝(3m+1−3)/(2)．
由b_m=a_k得3^m=2k-1，
∴k＝(3m+1)/(2)．
∴Sk＝k2＝(9m+2×3m+1)/(4)．
∴所求的和为S＝Sk−Tm＝(9m−4×3m+7)/(4)．