已知数列{an}是等比数列，首项a1=2，a4=16，数列{bn}是等差数列，且b3=a3，b5=a5，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若求数列{bn}的通项公式及前n项的和Sn；（Ⅲ）求数列{|bn|}前n项的和Tn．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，首项a₁=2，a₄=16，数列{b_n}是等差数列，且b₃=a₃，b₅=a₅，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若求数列{b_n}的通项公式及前n项的和S_n；
（Ⅲ）求数列{|b_n|}前n项的和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）因为数列{a_n}是等比数列且首项a₁=2，a₄=16，
∴公比q³=(a4)/(a1)(16)/(2)=8，
故q=2．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=a₁•q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b₃=a₃=2³=8，b₅=a₅=2⁵=32，
而数列{b_n}是等差数列，
∴数列{b_n}的公差d=(b5−b3)/(5−3)=(32−8)/(2)=12．
∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=b₃-（n-3）d=8+（n-3）×12=12n-28．
即b_n=12n-28．（n∈N^*）．
∴b₁=-16，
∴数列{b_n}的前n项的和为：S_n=((−16+12n−28)n)/(2)=6n²-22n．
∴S_n=6n²-22n．（n∈N^*）．
（III）

∵bn＝12n−28

，
∴当n＜3，n∈N^*时，b_n＜0，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂-…-b_n=-（b₁+b₂+…+b_n）=-S_n=22n-6n²．（n∈N^*）．
当n≥3，n∈N^*时，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂+b₃+b₄+…+b_n=S_n-2（b₁+b₂）=6n²-22n-2（-16-4）=6n²-22n+40．
∴T_n=

−6n2+22n，1≤n≤2

6n2−22n+40，n≥3

n∈N^*．