已知在等差数列{an}中，a3=4前7项和等于35，数列{bn}中，点（bn，sn）在直线x+2y-2=0上，其中sn是数列{bn}的前n项和（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等比数列；（3）

Question

已知在等差数列{a_n}中，a₃=4前7项和等于35，数列{b_n}中，点（b_n，s_n）在直线x+2y-2=0上，其中s_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）设c_n=a_n•b_n•T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n并证明；(4)/(3)≤T_n＜(5)/(2)．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，则由题意知：

a1+2d＝4

7a1+(7×6)/(2)d＝35

得

a1＝2

d＝1

∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1…（3分）
（2）∵点（b_n．s_n）在直线x+2y-2=0上
∴b_n+2s_n-2=0----①，b_n-1+2s_n-1-2=0（n≥2）-----②
①-②得b_n-b_n-1+2b_n=0，∴b_n=(1)/(3)b_n-1（n≥2），…（6分）
又当n=1时，b₁=-(1)/(2)b₁+1∴b1=(2)/(3)≠0
∴数列{b_n}是以(2)/(3)为首项，(1)/(3)为公比的等比数列．…（9分）
（3）由（2）知，b_n=(2)/(3)•（(1)/(3)）^n-1=(2)/(3n)，
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•(2)/(3n)T_n=(2×2)/(3)+(2×3)/(32)+