在如图所示的多面体中，四边形ABCD是梯形，∠BAD=∠CDA=90°，四边形CDEF是矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，AB=AD=DE=12CD=2，M是线段AE的中点．（I）求证：AC∥平面MDF；（Ⅱ）平面MDF将该几何体分成两部

Question

在如图所示的多面体中，四边形ABCD是梯形，∠BAD=∠CDA=90°，四边形CDEF是矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，AB=AD=DE=(1)/(2)CD=2，M是线段AE的中点．
（I）求证：AC∥平面MDF；
（Ⅱ）平面MDF将该几何体分成两部分，求多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比．

Answer 1

（I）证明：连结CE，交DF于N，连结MN，
由题意知N为CE的中点，
在△ACE中，MN∥AC，…（3分）
且MN⊂面MDF，AC⊈平面MDF，
∴AC∥平面MDF．…（6分）
（II）  将多面体ABCDEF补成三棱柱ADE-B'CF，如图，
则三棱柱的体积为：
V=S_△ADE•CD=(1)/(2)×2×2×4=8，…（8分）
而三棱锥F-DEM的体积V_M-DEF=(4)/(3)，
则V_{多面体ABCDMF}=V-VF-BB‘C-V_M-DEF=8-(4)/(3)-(4)/(3)=(16)/(3)，
∴多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比为(VM-DEF)/(VABCDEF)=(1)/(4)．…（12分）