在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC上，如图所示，从点A1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A1A2为第1条线段．设AA1=A1A2

Question

在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC上，如图所示，从点A₁开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A₁A₂为第1条线段．设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，则∠A=______°；若记线段A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数），如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，则此时a₂=

1+√(2)

1+√(2)

，a_n=

（1+√(2)）^n-1

（1+√(2)）^n-1

（用含n的式子表示）．

Answer 1

∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴△A₁A₂A₃为等腰直角三角形，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
又AA₁=A₁A₂，
∴∠A=∠AA₂A₁，
又∠A₂A₁A₃为△AA₂A₁的外角，
∴∠A=∠AA₂A₁=(1)/(2)∠A₂A₁A₃=22.5°；
∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，
∴A₁A₂=a₁=1；
在Rt△A₁A₂A₃中，根据勾股定理得：A₁A₃=√(2)，
∴AA₃=A₃A₄=a₂=AA₁+A₁A₃=1+√(2)；
同理AA₅=A₅A₆=a₃=AA₃+A₃A₅=1+√(2)+√(2)（1+√(2)）=3+2√(2)=（1+√(2)）²；
以此类推，a_n=（1+√(2)）^n-1．
故答案为：22.5°；1+√(2)；（1+√(2)）^n-1．