确定二次函数的题目,急!求抛物线y=ax^2+bx+c,若它满足下列条件之一：1、设x0为任意实数,当x从x0增加到x0+1时y增加2x0,且通过点（0,1）；2、当x=1/2时取最小值－33,ax^2+bx+c=0的两根的4次方之和是161.

Question

确定二次函数的题目,急!
求抛物线y=ax^2+bx+c,若它满足下列条件之一：
1、设x0为任意实数,当x从x0增加到x0+1时y增加2x0,且通过点（0,1）；
2、当x=1/2时取最小值－33,ax^2+bx+c=0的两根的4次方之和是161.

Answer 1

记 y=f(x)
1、由题意,f(0) = c = 1
f(2x0)-f(x0) = 3a(x0)²+bx0 = 2x0
即：(3ax0+b-2)x0 = 0
x0为任意实数,因此 3a x0 = 2-b 对任意实数x0都成立
∴3a=0 且 2-b=0 解得：a=0,b=2
y=2x+1 （解出来就不是抛物线,有点怪）
2、y=a[x + (b/2a)]² + [(4ac-b²)/4a]
由题意,a>0（因为是最小值）
-b/2a = 1/2 ,(4ac-b²)/4a=-33
即 b=-a ,c=a/4 - 33
设ax²+bx+c=0的两根为x1,x2 ,由韦达定理,
x1+x2 = -b/a = 1
x1x2 = c/a = 1/4 - 33/a
x1²+x2² = 1 - 2(1/4 - 33/a) = 1/2 + 66/a
x1^4+x2^4 = (x1²+x2²)² - 2x1²x2²
= (1/2 + 66/a)²-2(1/4 - 33/a)² = 161
解得：a=4,b=-4,c=-32
y = 4x²-4x-32