已知数列{an}的通项公式为an=3的n-1次幂,在等差数列{bn}中,bn＞0（n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列（1）求数列{bn}的通项公式（2）求数列{an·bn}的前n项的和Tn

Question

已知数列{an}的通项公式为an=3的n-1次幂,在等差数列{bn}中,bn＞0（n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列
（1）求数列{bn}的通项公式
（2）求数列{an·bn}的前n项的和Tn

Answer 1

∵an=3n-1（n∈N*）
∴a1=1,a2=3,a3=9,
在等差数列{bn}中,
∵b1+b2+b3=15,
∴b2=5．
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d,
∴（1+5-d）（9+5+d）=64
解得d=-10,或d=2,
∵bn＞0（n∈N*）,
∴舍去d=-10,取d=2,
∴b1=3,
∴bn=2n+1（n∈N*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Tn=3×1+5×3+7×3^2+`````+（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1①
3Tn=3×3+5×3^2+7×3^3++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3^n②
①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×3^2+2×3^3++2×3^n-1-（2n+1）3^n
=3+2（3+3^2+3^3++3^n-1）-（2n+1）3^n
= 3+2×(3-3^n)/(1-3)-(2n+1)3^n=3^n-(2n+1)3n=-2n•3^n,