设A,B是数域P上两个n阶矩阵,A^n=B^n=0,但A^(n-1)不等于0,A^(n-1)不等于0.证明A与B相似.

Question

设A,B是数域P上两个n阶矩阵,A^n=B^n=0,但A^(n-1)不等于0,A^(n-1)不等于0.证明A与B相似.

Answer 1

如果可以用Jordan标准型,那么方法很直接.
由A,B幂零,A,B都只有0特征值.特征值为0的r阶Jordan块是r次幂零的.
A^(n-1)非零,说明A有大于n-1阶的Jordan块,于是A只有一个n阶Jordan块.
B也同样,于是A,B有相同的相似标准型,二者相似.
如果不能用Jordan标准型,我们就从Jordan标准型的证明中截取一段.
A视为线性变换.
A^(n-1)不等于0故存在向量X使A^(n-1)X非零.
我们证明X,AX,A²X,...,A^(n-1)X线性无关.
设k_0*X+k_1*AX+...+k_(n-1)*A^(n-1)X=0,记为(1)式.
(1)式用A^(n-1)作用得k_0=0,于是(1)式用A^(n-2)作用得k_1=0,依次类推至k_(n-1)=0.
我们得到X,AX,A²X,...,A^(n-1)X构成一组基,而A在这组基下的矩阵就是n阶Jordan块.
对B得到同样结论,知A,B相似.