有可见星A和和不可见星B构成lmcx-3双星系统,两星均可视为质点,不考虑其他天体影响,A,B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图,万有引力常量G,已知可见星A的速率

Question

有可见星A和和不可见星B构成lmcx-3双星系统,两星均可视为质点,不考虑其他天体影响,A,B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图,万有引力常量G,已知可见星A的速率为V,周期为T
1 可见星A受暗星B的引力F（A）可等效于位于O处质量为m^的星体（视为质点）对他的引力,设A和B的质量分别为m1,m2,求m^（用m1 m2表示）
2 求暗星B的质量m2与可见星A的速率v,运行周期T和质量m1之间的关系式.

Answer 1

1.双星一定是周期相同,设两星距离为L,m1的轨道半径是r,m2的轨道半径是L-r
F引=F引
Gm1m2/L^2=Gm1m2/L^2
m1*4π^2*r=m2*4π^2*（L-r)
解得r=m2L/(m1+m2）
算等效质量
F引=F引
Gm1m2/L^2=Gm1m^/r^2
m^=m2r^2/L^2=m2^3/(m1+m2）^2
2.
由r=m2L/(m1+m2）可以导出
L=r*（m1+m2）/m2
Gm1m2/L^2=m1*v^2/r.把L=?带入得
Gm1m2/（r*（m1+m2）/m2）^2=m1*v^2/r
由v=2πr/T,r=vT/2π代入上式结果就出来了