宇航员到了某星球后做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角2θ．当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力．已知星球的半

Question

宇航员到了某星球后做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角2θ．当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力．已知星球的半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）线的拉力；
（2）该星球表面的重力加速度；
（3）该星球的第一宇宙速度；
（4）该星球的密度．

Answer 1

（1）小球做圆周运动，线的拉力在水平方向的分力提供向心力 Fsinθ＝m(4π2)/(T2)r
又因为半径r=Lsinθ
解得线的拉力F＝m(4π2)/(T2)L
（2）线的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，即Fcosθ=mg_星
解得该星球表面的重力加速度g星＝(Fcosθ)/(m)＝(4π2)/(T2)Lcosθ
（3）星球的第一宇宙速度即为该星球的近“地”卫星的环绕速度v，设近“地”卫星的质量为m′，根据向心力公式有：
m′g星＝m′(v2)/(R)
解得v＝(2π)/(T)√(RLcosθ)
（4）设星球的质量为M，星球表面的物体的重力等于万有引力有
mg星＝G(Mm)/(R2)
又因为M＝ρ•(4)/(3)πR3
解得星球的密度ρ＝(3πLcosθ)/(GRT2)
答：（1）线的拉力为m(4π2)/(T2)L；（2）该星球表面的重力加速度为(4π2)/(T2)Lcosθ；（3）该星球的第一宇宙速度为(2π)/(T)√(RLcosθ)；（4）该星球的密度为(3πLcosθ)/(GRT2)．