求极限limx趋于0(ex+e2x+…+enx)/n的1/x次方

Question

求极限limx趋于0(ex+e2x+…+enx)/n的1/x次方

Answer 1

∵lim(x->0)[ln((e^x+e^(2x)+.+e^(nx))/n)/x]
=lim(x->0)[(ln(e^x+e^(2x)+.+e^(nx))-lnn)/x]
=lim(x->0)[(e^x+2e^(2x)+.+ne^(nx))/(e^x+e^(2x)+.+e^(nx))]
(0/0型极限,应用罗比达法则)
=(1+2+.+n)/n
=(n(n+1)/2)/n (应用等差数列求和公式)
=(n+1)/2
∴lim(x->0)[((e^x+e^(2x)+.+e^(nx))/n)^(1/x)]
=e^{lim(x->0)[ln((e^x+e^(2x)+.+e^(nx))/n)/x]}
=e^[(n+1)/2].