某远洋捕渔船到远海捕鱼，由于远海渔业资源丰富，每撒一次网都有w万元的收益；同时，又由于远海风云未测，每撒一次网存在遭遇沉船事故的可能，其概率为1k（常数k为大

Question

某远洋捕渔船到远海捕鱼，由于远海渔业资源丰富，每撒一次网都有w万元的收益；同时，又由于远海风云未测，每撒一次网存在遭遇沉船事故的可能，其概率为 (1)/(k) （常数k为大于l的正整数）．假定，捕鱼船吨位很大，可以装下几次撒网所捕的鱼，而在每次撒网时，发生不发生沉船事故与前一次撒网无关，若发生沉船事故，则原来所获的收益将随船的沉没而不存在，又已知船长计划在此处撒网n次．
（1）当n=3时，求捕鱼收益的期望值
（2）试求n的值，使这次远洋捕鱼收益的期望值达到最大．

Answer 1

（1）列表：

收益	0	3W
P	1-(1-(1)/(k) ) 3	(1-(1)/(k) ) 3

（3分）
所以收益的期望值= 3W(1-(1)/(k) ) 3 （3分）
（2）列表：

收益	0	nW
P	1-(1-(1)/(k) ) n	(1-(1)/(k) ) n

因此，撒了n次网收益的期望值等于 f(n)=wn(1-(1)/(k) ) n （4分） f(n+1)=w(n+1)(1-(1)/(k) ) n+1 =wn(1-(1)/(k) ) n (1-(1)/(k) )(n+1)/(n) =f(n)[1+((k-1)-n)/(kn) ] ，
∵ [1+((k-1)-n)/(kn) ]≥1 等价于（k-1）-n≥0，得n≤k-1．
∴当n＜k-1时，f（n+1）＞f（n）；当n=k-1时，f（n+1）=f（n）；
当n＞k-1时，f（n+1）＜f（n）；因此，当n=k-1时，f（n）达到最大．（4分）