某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训

Question

某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．

年龄分组	A项培训成绩优秀人数	B项培训成绩优秀人数
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；
（2）求全校教师的平均年龄；
（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．

Answer 1

（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．…（2分）
（2）由频率分布直方图得：
全校教师的平均年龄为：
25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（4分）
（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，
由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为(30)/(42)=(5)/(7)，
B项培训结业考试成绩优秀的概率为(18)/(42)=(3)/(7)，
∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为(5)/(7)×(3)/(7)=(15)/(49)，…（6分）
∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），
从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为(36)/(48)=(3)/(4)，
B项培训结业考试成绩优秀的概率为(24)/(48)=(1)/(2)，
∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为(3)/(4)×(1)/(2)=(3)/(8)…（8分）
由题设知X的可能取值为0，1，2．
∴P(X=0)=(1-(15)/(49))(1-(3)/(8))=(85)/(196)，P(X=1)=(15)/(49)×(1-(3)/(8))+(1-(15)/(49))×(3)/(8)=(177)/(392)，
P(X=2)=(15)/(49)×(3)/(8)=(45)/(392)，…（10分）
∴X的概率分布为

X	0	1	2
P	(85)/(196)	(177)/(392)	(45)/(392)

X的数学期望为EX=0×(85)/(196)+1×(177)/(392)+2×(45)/(392)=(267)/(392)…（12分）