（2012•静安区一模）已知函数f（x）=-x2+4|x|+5．（1）画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象；（2）解关于x的不等式f（x）＜7；（3）当4−22＜k＜4+22时，证明：f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成

Question

（2012•静安区一模）已知函数f（x）=-x²+4|x|+5．
（1）画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象；
（2）解关于x的不等式f（x）＜7；
（3）当4−2√(2)＜k＜4+2√(2)时，证明：f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．

Answer 1

（1）f（x）=-x²+4|x|+5=

−x2+4x+5，x≥0

−x2−4x+5，x＜0

，
∵[-5，5]，
∴由-x²+4x+5=0，得x₁=-1（舍），x₂=5；
由-x²-4x+5=0，得x₁=1（舍），x₂=-5．
∴图象与x轴的两个交点（-5，0），（5，0），
y=-x²-4x+5的对称轴是x=-2，最高点是（-2，9），y=-x²+4x+5的对称轴是x=2，最高点是（2，9），
与y轴的交点是（0，5），
∴其图象是如右图
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：

x≥0

−x2+4x+5＜7

或者

x＜0

−x2−4x+5＜7.

，
解得不等式的解为0≤x＜2−√(2)或x＞2+

作业帮用户 2017-10-11 举报

问题解析

（1）f（x）=-x²+4|x|+5=

−x2+4x+5，x≥0

−x2−4x+5，x＜0

，求出函数的对称轴，顶点坐标，与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，能够画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象．
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：

x≥0

−x2+4x+5＜7

或者

x＜0

−x2−4x+5＜7.

，由此能求出原不等式的解集．
（3）原不等式等价转化为下列不等式组：

x＜0，…1

x2+4x+kx+4k+2＞0；…2

或者

x≥0，…3

x2−4x+kx+4k+2＞0．…4

，由此能够证明f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．

名师点评

本题考点：

二次函数的性质；一元二次不等式的解法．

考点点评：

本题考查函数图象的画法，考查不等式的解法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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