袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为27．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止

Question

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为(2)/(7)．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅲ）求甲取到白球的概率．

Answer 1

（I）设袋中原有n个白球，由题意知：(2)/(7)=(C2n)/(C27)，∴n（n-1）=12
解得n=4（舍去n=-3），即袋中原有4白球；
（II）ξ的可能取值为1，2，3，4
P（ξ=1）=(4)/(7)，P（ξ=2）=(3×4)/(7×6)=(2)/(7)，P（ξ=3）=(3×2×4)/(7×6×5)=(4)/(35)，P（ξ=4）=(3×2×1×4)/(7×6×5×4)=(1)/(35)
∴随机变量ξ的概率分布列为

ξ	1	2	3	4
P	(4)/(7)	(2)/(7)	(4)/(35)	(1)/(35)

∴Eξ=1×(4)/(7)+2×(2)/(7)+3×(4)/(35)+4×(1)/(35)=(8)/(5)；
（III）∵甲先取，∴甲只有可能在第1次和第3次取球，
记“甲取到白球”为事件A，P（AA）=P（ξ=1）+P（ξ=3）=(24)/(35)