小球a、b用一处于原长的微型轻质弹簧连接，静止在高度H=1m的平台上A处，a和b的质量分别为0.09kg和0.1kg．一颗质量为m0=0.01kg的子弹c以v=400m/s的初速度水平射入a并留在其中，当弹簧压缩到最

Question

小球a、b用一处于原长的微型轻质弹簧连接，静止在高度H=1m的平台上A处，a和b的质量分别为0.09kg  和0.1kg．一颗质量为m₀=0.01kg的子弹c以v=400m/s的初速度水平射入a并留在其中，当弹簧压缩到最短时使弹簧处于锁定状态，之后它们共同沿粗糙曲面AB滑下，经过B点后，进入竖直平面的圆形光滑轨道，并能通过圆轨道的最高点C已知圆轨道半径R=0.4m，当ab到达C位置时弹簧在极短时间内解除锁定并迅速与a、b分离，分离后a的速度恰好为零而b继续沿圆周运动．将a、b以及弹簧组成的系统看成质点，不计弹簧压缩和弹开的时间，设a球落下后不会与b球相椪，求（取g=10m/s²）：

（1）弹簧处于锁定状态时具有的弹性热能Ep；
（2）子弹c和a、b在AB段克服阻力所做的功W
（3）小球b第二次到达B处时对轨道的压力．

Answer 1

（1）子弹c射入a，对ac系统，取向右为正方向，由动量守恒定律得
           m_cv=（m_c+m_a）v₁
解得，子弹射入a后ac的共同速度 v₁=40m/s
弹簧压缩到最短时，a、b、c三者的速度相同，对abc系统，由动量守恒定律得
      m_cv=（m_c+m_b+m_a） v₂
解得，v₂=20m/s
弹簧处于锁定状态时具有的弹性势能 E_p=(1)/(2)（m_c+m_a）v₁²-(1)/(2)（m_c+m_b+m_a） v₂²=40J
（2）A到B过程，由动能定理得
   （m_c+m_b+m_a）gH-W_f=(1)/(2)（m_c+m_b+m_a） v₃²-(1)/(2)（m_c+m_b+m_a） v₂²
B到C过程，abc整体的机械能守恒，则有：
  (1)/(2)（m_c+m_b+m_a） v₃²=(1)/(2)（m_c+m_b+m_a） v₄²+（m_c+m_b+m_a）g•2R
弹簧在极短时间内解除锁定a、b分离，取向左为正方向，由动量守恒定律得
     （m_c+m_b+m_a） v₄=m_bv₅
由能量守恒定律得：
   (1)/(2)（m_c+m_b+m_a） v₄²+E_p=(1)/(2)m_b v₅²
解得 v₄=20m/s   v₅=40m/s   v₃=40m/s
子弹和a、b在AB段克服阻力所做的功  W_f=0.4J  
（3）小球b由C到B过程，由机械能守恒定律得
   (1)/(2)m_bv₆²=(1)/(2)m_b v₅²+m_bg•2R
小球b第二次到达B处时   F₁-m_bg=m_b(v26)/(R)
解得  F₁=321N    
由牛顿第三定律有对轨道的压力  F₂=F₁=405N 
答：
（1）弹簧处于锁定状态时具有的弹性热能E_p是40J．
（2）子弹c和a、b在AB段克服阻力所做的功W是0.4J．
（3）小球b第二次到达B处时对轨道的压力是405J．