（2013•成都一模）如图所示，绝缘传送带与水平地面成37°角，倾角也是37°的绝缘光滑斜面固定于水平地面上且与传送带良好对接，轻质绝缘弹簧下端固定在斜面底端．皮带传动装置两轮轴

Question

（2013•成都一模）如图所示，绝缘传送带与水平地面成37°角，倾角也是37°的绝缘光滑斜面固定于水平地面上且与传送带良好对接，轻质绝缘弹簧下端固定在斜面底端．皮带传动装置两轮轴心相距L=6m，B、C分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．现将质量m=0.1kg、电荷量q=+2×10^-5C的工件（视为质点，电荷量保持不变）放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A点后由静止释放，工件滑到传送带端点B时速度v₀=8m/s．AB间的距离s=1m，AB间无电场，工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.25．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求弹簧的最大弹性势能；
（2）若皮带传动装置以速度v顺时针匀速转动，且v可取不同的值（安全运行的最大速度为10m/s），在工件经过B点时，先加场强大小E=4×10⁴N/C，方向垂直于传送带向上的均强电场，0.5s后场强大小变为E'=1.2×10⁵N/C．方向变为垂直于传送带向下．工件要以最短时间到达C点，求v的取值范围；
（3）若用Q表示工件由B至C的过程中和传送带之间因摩擦而产生的热量．在满足（2）问的条件下，请推出Q与v的函数关系式．

Answer 1

（1）从A到B的过程中，由机械能守恒定律得，弹簧的最大弹性势能为：E_p=mgsinθ+(1)/(2)m

v

2 0

代入数据解得：E_P=0.1×10×sin37°+(1)/(2)×0.1×82=3.8（J）．
（2）工件经过B点运动t₁=0.5s的过程中，根据qE=mgcosθ可知，摩擦力为0，工件做匀减速运动，有：
  mgsinθ=ma₁，
代入数据解得：a₁=gsin37°=10×0.6m/s²=6m/s²，
所以 v₁=v₀-a₁t₁=8-6×0.5=5（m/s）
所以 x₁=v₀t₁-(1)/(2)a1

t

2 1

=8×0.5-(1)/(2)×6×0．52m=3.25m
当场强大小变为E′，方向变成垂直于传送带向下后，要使工件以最短时间到达C点，传送带对它的滑动摩擦力要一直向上，设满足此条件的传送带最小速度为v_min，
根据牛顿第二定律有：μ（mgcosθ+qE′）-mgsinθ=ma₂，
解得：a₂=(μ(mgcos37°+qE′)−mgsin37°)/(m)=2m/s²，
工件沿传送带发生的位移 x₂=L-x₁=6-3.25=2.75（m）
 

v

2 min

-

v

2 1

=2a₂x₂
解得：v_min=√(v21+2a2x2)=√(52+2×2×2.75)m/s=6m/s
所以当传送带以6m/s＜v＜10m/s运动时，工件将以最短时间达到C点．
（3）由于第一个过程中摩擦力为0，所以只在第二个过程中产生热量，在第二个过程中经历的时间 t₂=(vmin−v1)/(a2)=(6−5)/(2)s=0.5s
传送带在t₂时间内发生的位移为x′₂=vt₂，
 Q=μ（mgcosθ+qE′）（x′₂-x₂）
代入数据解得：Q=0.4v-2.2（J）
答：
（1）弹簧的最大弹性势能为3.8J；
（2）v的取值范围为6m/s＜v＜10m/s；
（3）Q与v的函数关系式为Q=0.4v-2.2（J）．