由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不作广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果作广告宣传且每件售价不变，那么广告费用n千元比广告费用(n-1)千元时的销售量多件(n∈

Question

由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不作广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果作广告宣传且每件售价不变，那么广告费用n千元比广告费用(n-1)千元时的销售量多件(n∈N*)．
(1)试写出销售量与n的函数关系式；
(2)当a=10，b=4000时公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？____

Answer 1

【分析】(1)设广告费为n千元时的销量为s_n，则s_n-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，s_n-s_n-1=，可知数列{s_n}不成等差也不成等比数列，但是两者的差 构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求
\n一、直接列式：由题，s=b++++…+=b(2-)
\n解法二、利用累差叠加法：，，…，累加结合等比数列的求和公式可求S_n
\n(2))b=4000时，s=4000(2-)，设获利为T_n，则有T_n=s•10-1000n=40000(2-)-1000n，
\n欲使T_n最大，根据数列的单调性可得 ，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求S的最大值

(1)解法一、直接列式：由题，s=b++++…+=b(2-)(广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b++；…n千元时s=b++++…+)
\n解法二、(累差叠加法)设s₀表示广告费为0千元时的销售量，
\n由题：，
\n相加得S_n-S₀=+++…+，
\n即S_n=b++++…+=b(2-)．
\n(2)b=4000时，s=4000(2-)，设获利为t，则有t=s•10-1000n=40000(2-)-1000n
\n欲使T_n最大，则，得，
\n故n=5，此时s=7875．
\n即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．

【点评】本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．