某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图

Question

某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l₁，l₂，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l₁，l₂的距离分别为5千米和80千米，点N到l₁的距离为100千米，以l₁，l₂ 所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=(a)/(x)模型（其中a为常数）．

（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．
（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．

Answer 1

（1）①由题意M（5，80）代入y=(a)/(x)，则a=400，
∴y=(400)/(x)，N（100，4），
∴定义域为[5，100]．
∴P（t，(400)/(t)），
∵y′=-(400)/(x2)，则公路l的方程：y=-(400)/(t2)x+(800)/(t)，
令x=0，可得y=(800)/(t)；令y=0，可得x=2t．
∴f(t)=√(((800)/(t))2+(2t)2)（t∈[5，100]）；
②A（0，(800)/(t)），B（2t，0），
f(t)=√(((800)/(t))2+(2t)2)=√((640000)/(t2)+4t2)≥3200，
当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，
所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；
（2）山体与x=5，x=100之间的面积为

∫

100 5

(400)/(x)dx=400lnx|

100

5

=400（ln100-ln5）=400ln20，
山体与L₁、L₂围成的面积是400+400ln20，
L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L₁、L₂围成的面积是800，
所以绿化带的面积是400+400ln20-800=400ln20-400（平方公里）．
答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；
在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20-400平方公里．