中国篮球职业联赛（CBA）的总决赛采用七局四胜制．当两支实力水平相当的球队进入总决赛时，根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元，以后每场比赛票房收入比上一

Question

中国篮球职业联赛（CBA）的总决赛采用七局四胜制．当两支实力水平相当的球队进入总决赛时，根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元，以后每场比赛票房收入比上一场增加a万元，当两队决出胜负后，求：
（1）组织者至少可以获得多少票房收入？
（2）决出胜负所需比赛场次的均值．
（3）组织者获得票房收入不少于33a万元的概率．

Answer 1

（1）根据题意，采用七局四胜制，分出胜败至少要4局，
则此时组织者可以获得3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）=18a万元，
即组织者至少可以获得18a万元的票房收入；
（2）根据题意，两支球队的实力水平相当的球队，设两队为甲队、乙队，且甲队、乙队每局取胜的概率为 (1)/(2) ；
设决出胜负所需比赛场次的值为ξ，则ξ可取的值为4、5、6、7，
ξ=4，即4局分出胜负，包括甲连胜4局与乙连胜4局两种情况，
则P（ξ=4）=2×（ (1)/(2) ） ⁴ = (1)/(8) ；
ξ=5，即5局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C ₄ ³ ×（ (1)/(2) ） ⁴ × (1)/(2) = (1)/(8) ，同理乙取胜的概率为 (1)/(8) ，
则P（ξ=5）=2× (1)/(8) = (1)/(4) ，
ξ=6，即6局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C ₅ ³ ×（ (1)/(2) ） ⁵ × (1)/(2) = (5)/(32) ，同理乙取胜的概率为 (5)/(32) ，
则P（ξ=6）=2× (5)/(32) = (5)/(16) ，
ξ=7，即7局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C ₆ ³ ×（ (1)/(2) ） ⁶ × (1)/(2) = (5)/(32) ，同理乙取胜的概率为 (5)/(32) ，
则P（ξ=7）=2× (5)/(32) = (5)/(16) ，
决出胜负所需比赛场次的均值为4× (1)/(8) +5× (1)/(4) +6× (5)/(16) +7× (5)/(16) = (93)/(16) ；
故决出胜负所需比赛场次的均值为 (93)/(16) ．
（3）进行4场，5场，6场，7场比赛组织者可分别获得票房收入为
18a万元，25a万元，33a万元，42a万元，
故票房收入不少于33a万元的概率P= (5)/(16) + (5)/(16) = (5)/(8)