如图，点A，C，E在一条直线上，已知ABC和△EDC都是等边三角形，AD，BE相交于点O，AD，BC相交于点F，CD，BE相交于点G．连接FG和OC．（1）试证明：AD=BE；（2）小明认为还可以得到如下结论：①A

Question

如图，点A，C，E在一条直线上，已知ABC和△EDC都是等边三角形，AD，BE相交于点O，AD，BC相交于点F，CD，BE相交于点G．连接FG和OC．

（1）试证明：AD=BE；
（2）小明认为还可以得到如下结论：①AF=BG；②FG∥AE；③∠AOC=∠EOC．你认为其中正确的有___（填序号即可）．并选择一个正确结论进行证明；
（3）试猜想线段OC，OD，OE之间有何数量关系？并证明你的猜想的正确性．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC

∠BCE=∠ACD

CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；

（2）正确的有①②③，
证明：连接OC，
∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，∠OBC=∠CAO，
∴∠AOB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠AOB=60°，
∵∠EOD+∠EDO+∠OED=180°，
∴∠ODC+∠DEO=60°，
∴∠ODC=∠CEO，
同理∠OCD=∠DEO，
∴∠COE=60°，
同理∠AOC=60°，
∴∠AOC=∠EOC；故③正确；
∵∠FGD+∠DFG+∠FDG=180°，
∵∠DFG=∠DEO，∠FDG=∠CEO，
∴∠DFG+∠FDG=60°
∴∠FGD=∠ACD=120°，
∴PQ∥AE，故②正确；
∵FG∥AE
∴∠CFG=∠ACB=60°，
∵∠FCG=60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴CF=CG，
在△ACF与△BCG中，

AC=AC

∠ACB=∠BCG

CF=CG

，
∴△ACF≌△BCG，
∴AF=BG；故①正确；
故答案为：①②③；

（3）在OE上截取OH=OC，
∵∠COE=60°，
∴OC=OH=CH，
∴∠OCH=60°，
∴∠OCG=∠HCE，
在△OCD与△HCE中，

OC=HC

∠OCD=∠HCE

CD=CE

，
∴△OCD≌△HCE，
∴HE=OD，
∵OE=OH+HE，
∴OE=OC+OD．