一袋中中有m个白球和n个黑球,丢失一球,不知其色,现随机从袋中摸取两球,结果都是白球,求：丢失的是白球的概率.

Question

一袋中中有m个白球和n个黑球,丢失一球,不知其色,现随机从袋中摸取两球,结果都是白球,求：丢失的是白球的概率.

Answer 1

记事件A:丢失一白球,B:丢失一黑球,
P(A)=P(B)=1/2.
记事件C:随机从袋中摸取两球,结果都是白球.
P(C|A)=C(m-1,2)/C(m+n-1,2),
P(C|B)=C(m,2)/C(m+n-1,2),
由贝叶斯公式,
P(A|C)=P(C|A)P(A)/[P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)]
=[C(m-1,2)/C(m+n-1,2)]/[C(m-1,2)/C(m+n-1,2)+C(m,2)/C(m+n-1,2)]
=C(m-1,2)/[C(m-1,2)+C(m,2)]
=(m-2)/(2m-2).
C(n,m)表示组合数C(n,m)=n!/[m!(n-m)!].
对下午的发言做一点修改和说明.
取P(A)=P(B)=1/2的根据是贝叶斯的“无知等同”原则,对丢失白球还是丢失黑球没有任何信息,就假设他们的可能性相同,作为先验概率.对“被人故意取走了一球”,取P(A)=P(B)=1/2作为先验概率较为合适.
这个题中,如果把“丢失一球,不知其色”理解为“随机地取走了一球”,那么,“无知等同”原则应该理解为丢掉任何一个球的概率相同,先验概率应该取为
P(A)=m/(m+n),P(B)=n/(m+n).
用上面的方法可得后验概率P(A|C)=(m-2)/(m+n-2).