一个四位数能够被7整除,将它逆序排列后得到的新的四位数也能被7整除,且比原来的四位数大.又知这两个四位数的差（大数减小数）被37整除.求原来的四位数.

Question

一个四位数能够被7整除,将它逆序排列后得到的新的四位数也能被7整除,且比原来的四位数大.又知这两个四位数的差（大数减小数）被37整除.求原来的四位数.

Answer 1

原四位数ABCD,逆序数DCBA.
根据题意要么D>A,要么D=A、C>B且：
DCBA-ABCD
=1000D+100C+10B+A-1000A-100B-10C-D
=999D+90C-90B-999A
=9(111D+10C-10B-111A) 能被37整除、能被9整除、能被7整除（两数分别能被7整除,则两数的差能被7整除）
即这个差9(111D+10C-10B-111A) 是7*9*37=2331的倍数
9(111D+10C-10B-111A) = 2331、4662、6993.显然D＞A.
111D+10C-10B-111A 是7、37的倍数,则有：
111D+10C-10B-111A=37*3D+10C-10B-37*3A= 37*(3D-3A)+10*(C-B)能被37整除,推得C-B=0即C=B
111D+10C-10B-111A=(105D+7C-7B-105A)+(6D+3C-3B-6A)=7(15D+C-B-15A)+3(2D+C-B-2A)能被7整除,推得
2D-2A+C-B= 2(D-A) 能被7整除,即D-A = 7
显然DXXA-AXXD = 6993
①
当D=8、A=1时,
DXXA能被7整除：8001+110X = 1143*7 + 110X ,推得X=0或7
原四位数是8001或8771
②
当D=9、A=2时,
DXXA能被7整除：9002+110X = 1286*7 + 110X ,推得X=0或7
原四位数是9002或9772
综上,原四位数可能是8001、8771、9002、9772