设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x＞0时f(x)＜0,且f(1)=-2,求f(x)在-3,3上最大小值

Question

设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x＞0时f(x)＜0,且f(1)=-2,求f(x)在【-3,3】上最大小值

Answer 1

∵f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0) ∴f(0)=0
∵f(kx)=f(x+x+……+x)=f(x)+f(x)+……+f(x) ∴f(kx)=kf(x)
∵f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数
∵x＞0时f(x)＜0 ∴f(x)是递减函数
∵f(1)=-2 ∴f(3)=3f(1)=-6 f(-3)=6
f(x)在【-3,3】上最大值是f(-3)=6,最小值是f(3)=-6