在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论．在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越

Question

在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论．在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好．比如，当|x|很小时，可以用y=x+1近似替代y=e^x．
（1）求证：x<0时，用x+1替代e^x的误差小于(1)/(2)x²，即：x<0时，|e^x-x-1|<(1)/(2)x²；
（2）若x>0时，用x替代sinx的误差小于ax³，求正数a的最小值．

Answer 1

（1）设f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）>0，解得：x>0，令f′（x）<0，解得：x<0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，
∴x<0时，f（x）>f（0）=0，
即e^x-x-1>0，
设h（x）=e^x-x-1-(1)/(2)x²，
x≤0时，h′（x）=e^x-1-x≥0，
∴h（x）在（-∞，0]递增，
∴x<0时，h（x）<h（0）=0，
即e^x-x-1-(1)/(2)x²<0，
∴x<0时，|e^x-x-1|<(1)/(2)x²；
（2）即求使x>0时，|x-sinx|<ax³恒成立的最小正数a，
设φ（x）=x-sinx，φ′（x）=1-cosx≥0，∴φ（x）在[0，+∞）递增，
∴x>0时，φ（x）>φ（　　））=0，∴x-sinx>0，
∴只需x-sinx-ax³<0恒成立，
设g（x）=x-sinx-ax³，
当a≥(1)/(6)时，g′（x）=1-cosx-3ax²，g″（x）=sinx-6ax，
x≥0时，sinx≤x，∴g″（x）≤x-6ax≤0，
∴g′（x）在[0，+∞）递减，
∴x≥0时，g′（x）≤g′（0）=0，
∴g（x）在[0，+∞）递减，
∴x>0时，g（x）<g（0）=0，即x-sinx<ax³，
∴a≥(1)/(6)时，|x-sinx|<ax³恒成立，
当0<a<(1)/(6)时，g′″（x）=cosx-6a，
∃x₀∈（0，(π)/(2)），使得cosx₀-6a=0，
且x∈[0，x₀]时，g′″（x）≥0，∴g″（x）在[0，x₀]上单增，
∴x∈[0，x₀]时，g″（x）≥g″（0）=0，∴g′（x）在[0，x₀]上单增，
∴x∈[0，x₀]时，g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，x₀]上单增，
∴x∈（0，x₀]时，g（x）>g（0）=0，
即x-sinx-ax³>0，这与题意不符，
综上，所求正数a的最小值为(1)/(6)．