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题目设L(Vn)表示数域P上n维线性空间V的所有的线性变换构成的集合.若q属于L(Vn)且V中一个由q的特征向量构成的基.证明：V的任一非零的q的不变子空间W都存在由q的特征向量构成的基.希望
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【题目】设L(Vn)表示数域P上n维线性空间V的所有的线性变换构成的集合.若q属于L(Vn)且V中一个由q的特征向量构成的基.证明：V的任一非零的q的不变子空间W都存在由q的特征向量构成的基.
希望能给个完整的解答,若是麻烦,给个思路也行.
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▼优质解答
答案和解析
基本思想是先证明W至少包含q的一个特征向量,然后做补空间并归纳即可.
先自己想,中间遇到困难了再看下面的提示.
设x_i,i=1,2,...,k是W的一组基,则存在数域P上的k阶矩阵B使得qX=XB,X=(x_1,...,x_k).由代数基本定理,B至少有一个复特征对By=cy,这样q(Xy)=c(Xy),c也是q的特征值,故在P内（因为q的特征向量都在V内）,从而可以把y也取在P内.
取补空间的时候只要把Xy放到W的基里面即可.
先自己想,中间遇到困难了再看下面的提示.
设x_i,i=1,2,...,k是W的一组基,则存在数域P上的k阶矩阵B使得qX=XB,X=(x_1,...,x_k).由代数基本定理,B至少有一个复特征对By=cy,这样q(Xy)=c(Xy),c也是q的特征值,故在P内（因为q的特征向量都在V内）,从而可以把y也取在P内.
取补空间的时候只要把Xy放到W的基里面即可.
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