振华中学有一个研究性学习小组共有10名同学，其中男同学x名，现要选出3人去参加某项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为f（x）．（1）求f（5）；（2）求f（x）的最大值．

Question

振华中学有一个研究性学习小组共有10名同学，其中男同学x名，现要选出3人去参加某项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为f（x）．
（1）求f（5）；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从10个人中选3人去参加某项调查活动共有C₁₀³种结果，
至少有一名女生去参加的对立事件是没有女生去参加，没有女生去参加共有C₁₀³-C₅³种结果，
∴根据古典概型和对立事件的概率公式得到
f（5）=(C310−C35)/(C310)＝(11)/(12)，
（2）f（x）=(C310−C3x)/(C310)＝1−(1)/(720)(x3−3x2+2x)3≤x≤10，x∈N，
则f′（x）=−(1)/(720)(3x2−6x+2)＝−(1)/(720)[3(x−1)2−1]，
x∈[3，10]3（x-1）²-1＞0恒成立，∴f′（x）在x∈[3，10]上恒小于0，
∴f（x）在[3，10]上为减函数．
∴f（3）最大，
∴f（x）的最大值是(C310−C33)/(C310)=1．