（2011•乐山二模）某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互独立，学生A各项测试合格的概率组成一个公差为18的等差数

Question

（2011•乐山二模）某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互独立，学生A各项测试合格的概率组成一个公差为(1)/(8)的等差数列，且第一项测试不合格的概率超过(1)/(2)，第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为(9)/(32)．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）求学生A测试合格的项数X的分布列和数学期望．

Answer 1

（I）记学生A通过这三个项目的测试的事件分别为B，C，D，
由题设可设P（B）=a，P ( C ) ＝ a+(1)/(8)，P ( D ) ＝ a+(1)/(4)( a＜(1)/(2) )．
由题意得，( 1−a )( a+(1)/(8) )＝(9)/(32)，
解得a＝(1)/(4)，或a＝(5)/(8)（舍去，不合题意）．
所以P ( B ) ＝ (1)/(4)，P ( C ) ＝ (3)/(8)，P ( D ) ＝ (1)/(2)．
由于事件B，C，D相互独立，所以学生A被录取的概率为
P₁=P ( BCD )＝P ( B ) P ( C ) P ( D )＝(1)/(4)×(3)/(8)×(1)/(2)＝(3)/(64)．
（Ⅱ）由题设知，学生A测试合格的项数X的取值为0，1，2，3．则P ( X＝0 )＝P ( 

.

B

 

.

C

 

.

D

 )＝P ( 

.

B

 ) P ( 

.

C

 ) P ( 

.

D

 )＝( 1−(1)/(4) )×( 1−(3)/(8) )×( 1−(1)/(2) )＝(15)/(64)；P ( X＝1 )＝P ( B 

.

C

 

.

D

 )+P (  

.

B

 C 

.

D

 )+P ( 

.

B

 

.

C

 D )=P ( B ) P ( 

.

C

 ) P ( 

.

D

 )+P ( 

作业帮用户 2016-11-29 举报

问题解析

（I）学生A被录取，包括进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取，假定每项测试相互独立，可用相互独立事件同时发生的概率求概率，根据等差数列的性质做出每一项合格的概率．
（II）学生A测试合格的项数X，由题意知X的取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率，写出分布列，做出期望．

名师点评

本题考点：

离散型随机变量的期望与方差；等差数列的性质；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．

考点点评：

本题主要考查等差数列，相互独立事件、互斥事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，同时考查运用概率知识分析问题和解决问题的能力．

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