当n=1,2,3,…2009时所有二次函数当n=1,2,3…,2009时,所有二次函数y=n（n+1）x^2-(2n+1)x+1的图像在x轴上所截得的线段长度之和.

Question

当n=1,2,3,…2009时所有二次函数
当n=1,2,3…,2009时,所有二次函 数y=n（n+1）x^2-(2n+1)x+1的图像在x轴上所截得的线段长度之和.

Answer 1

设二次函数y=n（n+1）x^2-(2n+1)x+1图像在x轴上的交点分别是xn1,xn2,且xn2>xn1,即xn1、xn2也是方程n（n+1）x^2-(2n+1)x+1＝0 的根,由韦达定理有：
xn1 + xn2 = -b/a=(2n+1)/[n(n+1)] (1),xn1*xn2 = 1/[n(n+1)] (2)
所以,函 数y=n（n+1）x^2-(2n+1)x+1的图像在x轴上所截得的线段长度为
ln = xn2-xn1 = √（xn2 - xn1)^2 = √[（xn2 + xn1)^2 - 4*xn2xn1] (3)
把（1）、（2）代入（3）式化简得
ln = 1/[n(n+1)
所以,l1 + l2 + l3 + ……+ l2009 = 1/(1*2) +1/(2*3) + 1/(3,*4) +……+ 1/[2009*2010]
= 1-1/2 + 1/2 -1/3 +1/3 - 1/4 + …… +1/2009 - 1/2010
= 1 - 1/2010 = 2009/2010