图是一种新型吊运设备的简化模型示意图，图中虚线框里是滑轮组（未画出），滑轮组绳子的自由端由电动机拉动。工人师傅用该吊运设备先后搬运水平地面上的圆柱形物体A和物体B

Question

图是一种新型吊运设备的简化模型示意图，图中虚线框里是滑轮组（未画出），滑轮组绳子的自由端由电动机拉动。工人师傅用该吊运设备先后搬运水平地面上的圆柱形物体 A 和物体 B 。物体 A 的底面积为 S _A ，密度为 ρ _A ，高度为 h _A ；物体 B 的底面积为 S _B ，密度为 ρ _B ，高度为 h _B 。当物体 A 所受竖直向上的拉力 T ₁ 为1500N时，物体 A 静止，地面对物体 A 的支持力为 N ₁ 。挂在滑轮组挂钩上的物体 A 匀速竖直上升4m的过程中，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力为 F ₁ ，拉力 F ₁ 做的功为 W 。当物体 B 所受竖直向上的拉力 T ₂ 为1000N时，物体B静止，地面对物体B的支持力为 N ₂ 。挂在滑轮组挂钩上的物体 B 以速度 v 匀速竖直上升的过程中，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力 F ₂ 为625N，拉力 F ₂ 做功的功率 P 为500W，滑轮组的机械效率为80%。已知： N ₁ =2 N ₂ ，5 S _A =4 S _B ，8 ρ _A =7 ρ _B ，2 h _A =5 h _B 。不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦。求：

（1）物体 B 匀速上升的速度 v ；
（2）拉力 F ₁ 做的功 W 。

Answer 1

（1）0.2m/s（2）1.6×10 ⁴ J

（1）当物体 A 受拉力为 T ₁ 时，以物体 A 为研究对象，受力分析，如图甲所示；当物体 B 受拉力为 T ₂ 时，以物体 B 为研究对象，受力分析如图乙所示。 

由图甲、乙得： G _A = T ₁ + N ₁ ， G _B = T ₂ + N ₂ 。
已知： N ₁ =2 N ₂ ，5 S _A =4 S _B ，8 ρ _A =7 ρ _B ，2 h _A =5 h _B ， T ₁ =1500N， T ₂ =1000N，因为 G = mg = ρVg=ρgSh ，
所以 G _A = ρ _A g S _A h _A ， G _B = ρ _B g S _B h _B ，解得： G _A =3500N， G _B =2000N。   
设滑轮组的绳子段数为 n ，提升物体 B 时，机械效率 η = 。
已知： F ₂ =625N， η =80%，解得： n =4；                         
拉力 F ₂ 做功的功率 P= = nv F ₂ ，已知： P= 500W，解得： v = 0.2m/s。 
（2）匀速提升物体 A 时，以物体 A 和动滑轮的整体为研究对象，受力分析如图甲所示。匀速提升物体 B 时，以物体 B 和动滑轮的整体为研究对象，受力分析如图乙所示。

由图乙得：4 F ₂ = G _B + G _动 ，解得： G _动 =4×625N―2000N=500N；
由图甲得：4 F ₁ = G _A + G _动 ，解得： F ₁ = =1000N；
拉力 F ₁ 做的功 W = nF ₁ h ，已知： h =4m，解得： W = 4×1000N×4m=1.6×10 ⁴ J。