三角函数期望通信原理里面有一道题ω是常数θ是在区间[0,2π]上均匀分布的随机变量cosωτ*Ε[cos^2(ωt+θ)]-sinωτ*E[1/2*sin(2ωτ+2θ)]=1/2cosωτ这个是怎么算出来的？（E是求期望，*是乘号，

Question

三角函数 期望
通信原理里面有一道题 ω是常数θ是在区间[0,2π]上均匀分布的随机变量 cosωτ*Ε[cos^2(ωt+θ)]-sinωτ*E[1/2*sin(2ωτ+2θ)]=1/2cosωτ
这个是怎么算出来的？（E是求期望，*是乘号，

Answer 1

我觉得你需要把这个式子展开,然后用E(aX+bY)=aE(X)+b(Y),再合并同类项,并且消元,应该能做出来.
比如说：E[(cosθ)^2]=∫(0到2π)(cosθ)^2×(1/2π)dθ=∫(0到2π)(1+cos2θ)×(1/4π)dθ=∫(0到2π)×(1/4π)dθ+∫(0到2π)cos2θ×(1/2π)d(2θ)=[(1/4π)θ](0到2π)+[sin2θ×(1/2π)](0到2π)=1/2
然后同理你可以算E[(sinθ)^2]=∫(0到2π)(sinθ)^2×(1/2π)dθ=∫(0到2π)(1-cos2θ)×(1/4π)dθ=∫(0到2π)×(1/4π)dθ-∫(0到2π)cos2θ×(1/2π)d(2θ)=[(1/4π)θ](0到2π)-[sin2θ×(1/2π)](0到2π)=1/2
还有E(sinθcosθ)=∫(0到2π)×(1/2π)×sin2θd(2θ)=-[(cos2θ)×(1/2π)](0到2π)=0.
这些算出来以后,把上头的东西展开,再把这些带进去,就OK了.