如图所示，在竖直平面内固定着光滑的1/4圆弧槽，它的末端切线水平，上端离地面H，一个质量为m的小球从上端无初速滑下，若使小球的水平射程出现最大值，则圆弧槽的半径为多大？此情

Question

如图所示，在竖直平面内固定着光滑的1/4圆弧槽，它的末端切线水平，上端离地面H，一个质量为m的小球从上端无初速滑下，若使小球的水平射程出现最大值，则圆弧槽的半径为多大？此情况下，小球达圆弧末端时对槽的压力多大？

Answer 1

设圆弧半径为R，从小球被释放到水平抛出，设水平抛出时小球的速度为v，由机械能守恒有：
mgR＝(1)/(2)mv2
解得：v=√(2gR)
从抛出到落地为平抛运动，设水平位移为x，平抛运动的时间为t，则有：
在水平方向上：x=vt
在竖直方向上：y＝H−R＝(1)/(2)gt2
联立解得：x＝2√(R(H−R))
当R=H-R时，X有最大值x_m，
即：R＝(H)/(2)时，水平射程出现最大值为x_m=H
小球达圆弧末端时，对小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，由牛顿第二定律有：
N−mg＝m(v2)/(R)
解得：N=3mg
由牛顿第三定律可得：N′=N=3mg
答：若使小球的水平射程出现最大值，则圆弧槽的半径为(H)/(2)，此情况下，小球达圆弧末端时对槽的压为3mg．