请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：。（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（，正整数），证明：。（2）对于正整数，

Question

请先阅读：
在等式 （ ）的两边求导，得： ，
由求导法则，得 ，化简得等式： 。
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式  （ ，正整数 ），证明： 。
（2）对于正整数 ，求证：
（i） ； （ii） ； （iii） 。

Answer 1

（1）证明见解析。
（2）证明见解析。

证明：（1）在等式 两边对 求导得

移项得                 （*）
（2）（i）在（*）式中，令 ，整理得 
所以   
（ii）由（1）知
两边对 求导，得
在上式中，令

即 ，
亦即          （1） 
又由（i）知          （2）
由（1）+（2）得2
（iii）将等式 两边在 上对 积分
由微积分基本定理，得
所以