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某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这

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某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生.
▼优质解答
答案和解析
设有x个学生,y个管理员.
该宿舍每位学生与赠一张贺卡,那么每个人收到的贺卡就是x-1张,那么总共就用去了x(x-1)张贺卡;
每个人又赠给每一位管理员一张贺卡,那么就用去了xy张贺卡;
每位管理员也回赠舍长一张贺卡,那么就用去了y张贺卡;
∴x(x-1)+xy+y=51,
∴51=x(x-1)+xy+y=x(x-1)+y(x+1)≥x(x-1)+x+1=x2+1(当y=1时取“=”),
解得,x≤7;
x(x-1)+(x+1)y=51
∵51是奇数,而x和x-1中,有一个是偶数,
∴x(x-1)是偶数,
∴(x+1)y是奇数,
∴x是偶数,
而x≤7,所以x只有2 4 6三种情况;
当x=2时,y=
49
3
(不是整数,舍去);
当x=4时,y=
39
5
(不是整数,舍去);
当x=6时,y=3.
所以这个宿舍有6个学生.
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