三角形ABC的三个顶点坐标为A(4,1),B(7,5),C(-4,7)求1：三角形ABC的内角A的平分线AD的长2：角A的外角平分线与CB的延长线交点E的坐标有过程写下来

Question

三角形ABC的三个顶点坐标为A(4,1),B(7,5),C(-4,7)
求1：三角形ABC的内角A的平分线AD的长
2：角A的外角平分线与CB的延长线交点E的坐标
有过程写下来

Answer 1

(1)AB=[(7-4)^2+(5-1)^2]^(1/2)=5,BC=[(-4-7)^2+(7-5)^2]^(1/2)=125^(1/2)=5*根号5
AC=[(-4-4)^2+(7-1)^2]^(1/2)=10,所以有AB^2+AC^2=BC^2,所三角形ABC为直角三角形,且角BAC为直角.
并有sinB=AC/BC=2/(根号5),cosB=AB/BC=1/(根号5).
因为AD为内角A的平分线,所以角BAD=45度.所以角ADB=180度-(角B+角BAD)
所以sin角ADB=sin[180度-(角B+角BAD)]=sin(角B+角BAD)=sin(B+45度)=sinBcos45度+cosBsin45度
=3/(根号下10)
由正弦定理:AD:sinB=AB:sinADB,所以AD=AB*sinB/(sinADB)=(10*根号下2)/3
即所求内角A的平分线AD的长为(10*根号下2)/3
(2)设直线AE和AB的倾角分别为a和b,则a=b-45度.(因为AE为角A的外角平分线,且角A为直角)
又直线AB的斜率为(5-1)/(7-4)=4/3,所以tanb=4/3
所以tana=tan(b-45度)=(tanb-tan45度)/[1+(tan45度)*(tanb)]=1/7
所以直线AE的斜率为1/7,所以直线AE的方程为y-1=(1/7)*(x-4)
又直线CE的方程为:(y-5):(x-7)=(7-5):((-4-7)
因为E为直线AE和CE的交点,所以联立上面两直线方程,解得x=18,y=3
所以所求E的坐标为(18,3)