用α，β，γ三个字母组成一个长度为n+1（n∈N*）个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2时排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，

Question

用α，β，γ三个字母组成一个长度为n+1（n∈N*）个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2时排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，αγβ（如图）．若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为a_n，可知，a₁=0，a₂=2；则a₄=______；数列{a_n}的前2n项之和a₁+a₂+a₃+…+a_2n=

(2(4n−1))/(3)

(2(4n−1))/(3)

．

Answer 1

由树形图得a_n+1=2ⁿ-a_n
∴(an+1)/(2n+1)＝−(1)/(2)•(an)/(2n)+(1)/(2)
∴(an+1)/(2n+1)-(1)/(3)=−(1)/(2)•（(an)/(2n)-(1)/(3)）
∴(an)/(2n)-(1)/(3)=（-(1)/(3)）•(−(1)/(2))n−1
∴an＝(1)/(3)•2n−(2)/(3)•(−1)n−1
∴数列{a_n}的前2n项之和a₁+a₂+a₃+…+a_2n=(1)/(3)(2+22+23+…+22n)-(2)/(3)(1−1+1−1+…+1−1)
=(1)/(3)(2+22+23+…+22n)=(2)/(3)(22n−1)=(2(4n−1))/(3)
故答案为：(2(4n−1))/(3)