微分中值定理 证明 f（x）在[0,π/2]上可导,则（0,π/2)内至少存在一点ε,使f"（ε）sin2ε+2f（ε）cos2ε=0

Question

微分中值定理
证明 f（x）在[0,π/2]上可导,则（0,π/2)内至少存在一点ε,使f'（ε）sin2ε+2f（ε）cos2ε=0

Answer 1

证明：
令g(x)=f(x)sin2x
则g(x)在[0,π/2]上可导
∵g(0)=g(π/2)=0
∴由微分中值定理知,在则（0,π/2)内至少存在一点ε,使
g'(ε)=[g(π/2)-g(0)]/[(π/2)-0]=0
即f'（ε）sin2ε+2f（ε）cos2ε=0