曲面积分高斯公式应用这个出题人很不厚道,为什么我算出来的P,Q,R分别对x.y.z求偏导后相加的和不为零,那运算量不就很大?

Question

曲面积分高斯公式应用
这个出题人很不厚道,为什么我算出来的P,Q,R分别对x.y.z求偏导后相加的和不为零,那运算量不就很大?

Answer 1

先将这个半个曲面代入进去,再添加z=0面,取下侧,构成一个封闭的外侧面.最后用高斯公式,后有,1/a²∫∫∫（x²+y²+z²）dv=1/a²∫(0,2π)dθ∫(0,π/2)dφ∫(0,a)ρ²·ρ²sinφdρ =2πa³/5
最后再减去这个添加的平面Z=0,显然这个平面向yoz面和zox面投影的时候积分值为0（因为这个z=0是分别垂直于那两个坐标面的,它们的方向余弦值为0）,所以只需要积分∫∫（2xy+y²z）dxdy即可,直接计算这个曲面积分有,∫∫（2xy+y²z）dxdy=（将z=0代理前面式子,然后注意到z=0取下侧面）=∫∫（2xy）（-dxdy）=0 （注意到这里的时候已经是一个二重积分了,由于D：x²+y²=a²关于x轴和y轴对称,且被积式关于x、y为奇次,所以这个二重积分值为0）
所以最后的积分2πa³/5 - 0=2πa³/5
我已经写得非常详细了,如果你还看不懂,或者不会利用对称性,那你要看一下书本