“重力探矿”是常用的探测石油矿藏的方法之一．其原理可简述如下：如图1，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ

Question

“重力探矿”是常用的探测石油矿藏的方法之一．其原理可简述如下：如图1，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差．重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象．已知引力常数为G．
（1）“重力探矿”利用了“割补法”原理：如图2所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
（2）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），

.

PQ

=x，利用“割补法”原理：如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常值可通过填充后的球形区域对Q处物体m产生的附加引力G(Mm)/(r2)=m△g来计算，式中M是填充岩石后球形区域的质量，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常值△g′（△g在OP方向上的分量）
（3）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在ξ与kξ（k＞1）（ξ为常数）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积．

Answer 1

（1）把整个球体对质点的引力F看成是挖去的小球体对质点的引力F1和剩余部分对质点的引力F2之和，即F=F1+F2填补上空穴的完整球体对质点m的引力为F=GMmd2挖去的半径为R2的小球体的质量为M′，则M′=ρ×4π3(R2)3=18×...