关于数学微分方程的几道题目.1.( d^2y)/dx^2 +4y=0 的通解为多少.2.y"" =e^(-x) 的通解为多少.我有答案,帮忙写出详细过程.3. 有一个推的过程不理解,帮忙解释一下.下面一张图.令yi=p(y) 则y""=dy"/dx=dp(

Question

关于数学微分方程的几道题目.
1.( d^2y)/dx^2 +4y=0 的通解为多少.
2.y'' =e^(-x) 的通解为多少.
我有答案,帮忙写出详细过程.
3. 有一个推的过程不理解,帮忙解释一下.下面一张图.
令yi=p(y) 则y''=dy'/dx=dp(y)*dy/dy*dx=dp*p/dy ________=>dp(y)*dy/dy*dx 这一步看不懂,能解释一下吗

Answer 1

（1）设y'=p,则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy
代入原方程得pdp/dy+4y=0
==>pdp/dy=-4y
==>pdp=-4ydy
==>p²=A-4y² (A是大于零的积分常数)
==>p=±√(A-4y²)
==>y'=±√(A-4y²)
==>dy/√(A-4y²)=±dx
==>(1/2)arcsin(2y/√A)=B±x (B是积分常数)
==>y=(√A/2)sin(2B±2x)
==>y=(±√A/2)sin(2x+2B) (根据诱导公式)
==>y=C1sin(2x+C2) (令C1=±√A/2,C2=2B)
故原方程的通解是y=C1sin(2x+C2) (C1,C2是积分常数).
（2）∵y'' =e^(-x)==>y'=-e^(-x)+C1 (C1是积分常数)
==>y=e^(-x)+C1x+C2 (C2是积分常数)
∴原方程的通解是y=e^(-x)+C1x+C2 (C1,C2是积分常数).
说明：dp(y)*dy/dy*dx应该是(dp(y)*dy)/(dy*dx),这一步是分子和分母同乘dy得来的.