已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1，（a为实常数）（1）若a=1，将f（x）写出分段函数的形式，并画出简图，指出其单调递减区间；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1，（a为实常数）
（1）若a=1，将f（x）写出分段函数的形式，并画出简图，指出其单调递减区间；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2−x+1，(x≥0)

x2+x+1，(x＜0)

f（x）的单调递减区间为(−∞，−(1)/(2)]和[0，(1)/(2)]；
（2）当a=0时，x∈[1，2]，f（x）=-x-1，在[1，2]上单调递减，
∴当x=2时，f_min（x）=-3
当a＞0时，x∈[1，2]，f(x)＝ax2−x+2a−1＝a(x−(1)/(2a))2+2a−1−(1)/(4a)
（ⅰ）当0＜(1)/(2a)＜1，即a＞(1)/(2)时，此时f（x）在[1，2]上单调递增，∴x=1时，f_min（x）=3a-2
（ⅱ）当1≤(1)/(2a)≤2，即(1)/(4)≤a≤(1)/(2)时，当x＝(1)/(2a)时，fmin(x)＝2a−1−(1)/(4a)
（ⅲ）当(1)/(2a)＞2，即0＜a＜(1)/(4)时，此时f（x）在[1，2]上单调递减，∴x=2时f_min（x）=6a-3
当a＜0时，x∈[1，2]，f(x)＝ax2−x+2a−1＝a(x−(1)/(2a))2+2a−1−(1)/(4a)，此时f（x）在[1，2]上单调递减，∴x=2时f_min（x）=6a-3
综上：g(a)＝

作业帮用户 2017-09-17 举报

问题解析

（1）根据绝对值的含义，取绝对值符号写出函数的分段形式；
（2）根据二次函数的对称轴方程与区间位置，分类讨论求最小值g（a）的解析式．

名师点评

本题考点：

二次函数的性质；函数的图象与图象变化．

考点点评：

本题主要考查分段函数的概念，绝对值的概念，二次函数的图象和性质．分段函数求单调区间和最值问题．从解法看，思路比较明确，但操作上易于出错．
（2）涉及求闭区间上二次函数的最值问题，注意讨论对称轴与区间的相对位置，确定得到最值的不同表达式．

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