有两个质点,其质量分别为m1和m2,它有两个质点,其质量分别为m1和m2,它们之间的相互作用符合万有引力定律,开始时,两质点距离为L,它们处于静止状态,试求当它们的距离为L/2时,两质点的速率

Question

有两个质点,其质量分别为m1和m2,它 有两个质点,其质量分别为m1和m2,它们之间的相互作用符合万有引力定律,开始时,两质点 距离为L,它们处于静止状态,试求当它们的距离为L/2时,两质点的速率各为多少

Answer 1

将两个质点作为系统,系统的万有引力做正功,引力势能减少,动能增加,减少的引力势能等于增加的动能.
减少的引力势能为　∆Ep＝（－G*m1*m2 / L）－[ －G*m1*m2 / (L / 2) ]＝G*m1*m2 / L
设所求的m1的速率是V1,m2的速率是V2
则有　∆Ep＝（m1*V1^2 / 2）＋（m2*V2^2 / 2）
即　G*m1*m2 / L＝（m1*V1^2 / 2）＋（m2*V2^2 / 2）.方程1
由于系统不受外力（只有相互作用的万有引力）,所以系统动量守恒.
得　0＝m1*V1－m2*V2　（以m1的速度方向为正）
即　m1*V1＝m2*V2　.方程2
由方程1和2联立得　V1＝根号 { 2G*m2^2 / [ L*(m1＋m2) ] }
V2＝根号 { 2G*m1^2 / [ L*(m1＋m2) ] }
注：引力势能是取无穷远时为0,势能是　Ep＝－G*m1*m2 / r ,r 是它们之间的距离.