某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x=3-(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售

Question

某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x=3-(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量是1万件.已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).

(1)将2017年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m(单位：万元)的函数；

(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?

Answer 1

 (1)由题意可知，当m=0时，x=1，

所以1=3-k，即k=2，

所以x=3-，每件产品的销售价格为1.5×元.

所以2017年的利润

y=x-(8+16x+m)

=4+8x-m=4+8-m

=-+29(m≥0).

(2)因为m≥0时，+(m+1)≥2=8，

所以y≤-8+29=21，当且仅当=m+1，

即m=3时，y_max=21.

答：该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.

【精要点评】(1)解基本不等式应用题时主要注意自变量的范围的实际限制，以及能否取到等号，是否在不等式取等号时取最值等.(2)基本不等式应用题的考查近两年不再以大题出现，常以简单的填空题出现.