如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，

Question

如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．

Answer 1

（1）AD=BE．理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，
∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵

AC＝BC

∠ACD＝∠BCE

CD＝CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；

（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP=CQ，
∴PQ=2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴CM⊥AD，CM=(1)/(2)BC=(1)/(2)×8=4，
∴CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP=CQ=5，
∴PN=√(CP2−CN2)=√(52−42)=3，
∴PQ=2PN=2×3=6；

（3）PQ的长为定值6．
∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN=CM=4是定值，
∴PQ的长是定值．