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大学开设甲、乙、丙三门选修课供学生任意选修(也可不选),假设学生是否选修哪门课彼此互不影响.已知某学生只选修甲一门课的概率为0.08,选修甲和乙两门课的概率为0.12,至少选修

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大学开设甲、乙、丙三门选修课供学生任意选修(也可不选),假设学生是否选修哪门课彼此互不影响.已知某学生只选修甲一门课的概率为0.08,选修甲和乙两门课的概率为0.12,至少选修一门的概率是0.88.
(1)求该学生选修甲、乙、丙的概率分别是多少?
(2)用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积,求ξ的分布列和数学期望.
▼优质解答
答案和解析
(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
由题意知
x(1-y)(1-z)=0.08
xy(1-z)=0.12
1-(1-x)(1-y)(1-z)=0.88
,(4分)
解之得
x=0.4
y=0.6
z=0.5

∴该学生选修甲、乙、丙的概率分别是0.4,0.6,0.5.(6分)
(2)依题意知ξ的可能取值为0,2,(7分)
∴P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.5×0.6+(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.24,(9分)
∴P(ξ=2)=1-P(ξ=0)=0.76
(或:仅仅选甲的概率为0.08,仅仅选乙概率为0.18,仅仅选丙的概率为0.12,合计为0.38,同样仅仅不选甲、仅仅不选乙、仅仅不选丙的概率和也为0.38,故P(ξ=2)=0.38+0.38=0.76)(9分)
则ξ的分布列为
ξ02
P0.240.76
∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52.(12分)
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