物体v0=10m/s竖直上抛,落回原处时速度vt=9m/s空气阻力和物体速度成正比重力加速度g=10m/s2求运动的时间.

Question

物体v0=10m/s竖直上抛,落回原处时速度vt=9m/s空气阻力和物体速度成正比重力加速度g=10m/s2求运动的时间.

Answer 1

以下分为上升和下落两个阶段进行分析,数值计算从略.
已知：V0＝10 m/s,Vt＝9 m/s,f ＝K* V（K是比例系数） ,g＝10 m/s^2
求：总时间 T
设上升阶段的时间是 T1,下落阶段的时间是T2
　　在上升阶段,物体受到的重力mg、阻力 f 的方向均是竖直向下.
由牛二　得　－（mg＋f ）＝m* a1　　（以竖直向上为正方向,f 是阻力大小）
而　a1＝dV / dt　
所以　－（mg＋f ）＝m*dV / dt　
即　－（mg＋K* V ）＝m*dV / dt　
得　dt＝－m*dV /（mg＋K* V ）
两边积分,得
t＝－（m / K）* ln( mg＋K* V ) ＋C1　　　,C1是积分常数
由初始条件：t＝0时,V＝V0　得　C1＝（m / K）* ln( mg＋K* V0 )
得　t＝－（m / K）* ln( mg＋K* V ) ＋（m / K）* ln( mg＋K* V0 )
即　t＝（m / K）* ln[ ( mg＋K* V0 ) / ( mg＋K* V ) ]
V＝（1/ K）* { [ ( mg＋K* V0 )* e^(－ K*t / m) ]－mg }
由于上升到最高点时,V＝0,这时 t＝T1
所以　T1＝（m / K）* ln[ ( mg＋K* V0 ) / ( mg ) ]
　　在下落阶段,物体受到重力mg、阻力 f（竖直向上）.
由牛二　得　（mg－f ）＝m* a2　　　（以竖直向下为正方向）
而　a2＝dV / dt
所以　（mg－f ）＝m*dV / dt
即　（mg－K* V ）＝m*dV / dt　
得　dt＝m*dV / （mg－K* V ）
两边积分,得
t＝（－m / K）* ln(mg－K* V )＋C2　　,C2是积分常数
由下落阶段的初始条件：t＝0时,V＝0　得　C2＝（m / K）* ln(mg)
所以　t＝（m / K）* ln[ (mg) / (mg－K* V ) ]
V＝(mg / K) * [ 1－e^(－K* t / m) ]
显然,当 t＝T2　时,V＝Vt
所以　T2＝（m / K）* ln[ (mg) / (mg－K* Vt ) ]
可见,总时间是　T＝T1＋T2
即　T＝（m / K）* ln[ ( mg＋K* V0 ) / ( mg ) ]＋（m / K）* ln[ (mg) / (mg－K* Vt ) ]
＝（m / K）* ln[ ( mg＋K* V0 ) / (mg－K* Vt ) ]
如果从距离方面考虑,可从上升的距离等于下落的距离列式.
即上升阶段的距离　H＝∫ （1/ K）* { [ ( mg＋K* V0 )* e^(－ K*t / m) ]－mg } * dt
t 的积分区间是从0到T1
下落阶段的距离　H＝∫ (mg / K) * [ 1－e^(－K* t / m) ] * dt
t 的积分区间是从0到T2　.