m(t)=cos(20000πt)+cos(4000πt)的希尔伯特变换是什么?这个有公式吗?公式是什么?谢谢!

Answer 1

假如一个函数为f(t),其Hilbert变换就是：
1/π{∫[f(u)/(t-u)]du}
其中：
π为圆周率,大括号里面的积分区间为负无穷到正无穷.
除了一些比较特殊的函数,该积分一般无法求出.求积分过程往往利用留数定理.
有性质：
H{cos(ωt+φ)}＝sin(ωt+φ),其中H表示hilbert变换.
于是,你的题目的结果为：
H{m(t)}＝sin(20000πt)+sin(4000πt)
其实这个结果也可以从频域角度考虑.一个函数的hilbert变换在频域上实际上等价于：将函数频谱的正半部分的相位移动-π/2,负半部分的相位移动π/2.
显然,将cos(ωt+φ)的频谱进行上述操作后,再进行傅立叶逆变换,很快就得到上述结果了.