如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1，（1）当∠A为70°时，则∠A1的度数是°；当∠A=90°时，∠A1的度数是°；（2）①探索∠A与∠A1之间数量关系并

Question

如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A₁，
（1）当∠A为70°时，则∠A₁的度数是___°；当∠A=90°时，∠A₁的度数是___°；
（2）①探索∠A与∠A₁之间数量关系并证明你的结论；
②若∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于A₂，∠A₂BC与A₂CD的平分线交于A₃，如此继续下去可得A₄、_…、A_n，请你直接写出∠A_n与∠A的数量关系___；
（3）如图，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，随着点P的运动，∠Q+∠A₁的值是否变化？若变化，请说名理由；若不变，请求出其值．

Answer 1

（1）∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=(1)/(2)∠ABC，∠A₁CD=(1)/(2)∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴(1)/(2)（∠A+∠ABC）=(1)/(2)∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=(1)/(2)∠A，
∵∠A=70°，
∴∠A₁=35°
∵∠A=90°，
∴∠A₁=45°；
故答案为：35，45；

（2）①∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=(1)/(2)∠ABC，∠A₁CD=(1)/(2)∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴(1)/(2)（∠A+∠ABC）=(1)/(2)∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=(1)/(2)∠A；
②同②可求得：
∠A₂=(1)/(2)∠A₁=(1)/(22)∠A，
∠A₃=(1)/(2)∠A₂=(1)/(23)∠A，
…
依此类推，∠A_n=(1)/(2n)∠A；
故答案为：∠A_n=(1)/(2n)∠A；

（3）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A₁=2（180°-∠Q），
化简得：∠A₁+∠Q=180°．