如图所示是一个三档调光台灯的电路图，小灯泡上标有“12V9W”，R1=8Ω．当单刀多掷开关S掷到“3”时，小灯泡正常发光，当单刀多掷开关S掷到“1”时，小灯泡的实际功率是额定功率的14．

Question

如图所示是一个三档调光台灯的电路图，小灯泡上标有“12V 9W”，R₁=8Ω．当单刀多掷开关S掷到“3”时，小灯泡正常发光，当单刀多掷开关S掷到“1”时，小灯泡的实际功率是额定功率的(1)/(4)．不计灯丝电阻受温度影响．
（1）小灯泡L和电阻R₂的阻值分别是多少？
（2）当单刀多掷开关S掷到“2”时，求电路的能量利用率（即η=(P灯泡)/(P总)×100%）是多少？
（3）通过计算分析说明：电路的能量利用率随小灯泡实际功率的变化规律．

Answer 1

（1）由P=(U2)/(R)可得，灯泡的电阻：
R_L=(UL2)/(PL)=((12V)2)/(9W)=16Ω，
当单刀多掷开关S掷到“3”时，电路为灯泡的简单电路，
∵灯泡正常发光，
∴电源的电压U=U_L=12V，
当单刀多掷开关S掷到“1”时，R₁和R₂、L串联，
此时灯泡的实际功率：
P_L′=(1)/(4)P_L=(1)/(4)×9W=(9)/(4)W=2.25W，
由P=I²R可得，此时电路中的电流：
I=√((PL′)/(RL))=√(((9)/(4)W)/(16Ω))=(3)/(8)A，
由欧姆定律可得，电路中的总电阻：
R_总=(U)/(I)=(12V)/((3)/(8)A)=32Ω，
∵串联电路中总电阻等于各分电阻之和，
∴R₂=R_总-R_L-R₁=32Ω-16Ω-8Ω=8Ω；
（2）当单刀多掷开关S掷到“2”时，R₁与L串联，
此时电路中的电流：
I₁=(U)/(RL+R1)=(12V)/(16Ω+8Ω)=0.5A，
灯泡的实际功率：
P_L″=I₁²R_L=（0.5A）²×16Ω=4W，
电路的总功率：
P_总=UI₁=12V×0.5A=6W，
电路的能量利用率：
η=(PL″)/(P总)×100%=(4W)/(6W)×100%≈66.7%；
（3）当单刀多掷开关S掷到“3”时，灯泡正常发光，电路的能量利用率为100%；
当单刀多掷开关S掷到“1”时，
电路中的总功率：
P_总′=UI=12V×(3)/(8)A=4.5W=(9)/(2)W，
此时电路的能量利用率：
η′=(PL′)/(P总′)=((9)/(4)W)/((9)/(2)W)×100%=50%；
当单刀多掷开关S掷到“1”、“2”、“3”时，灯泡的实际功率依次为2.25W、4W、9W，电路的能量利用率分别为50%、66.7%、100%，所以电路的能量利用率随着小灯泡的实际功率的增大而增大．
答：（1）小灯泡L的电阻为16Ω，电阻R₂的阻值是8Ω；
（2）当单刀多掷开关S掷到“2”时，电路的能量利用率是66.75%；
（3）电路的能量利用率随着小灯泡的实际功率的增大而增大．