高二数学求与圆x2+y2+8x+6y=0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.要有文字说明、证明过程.越快越好哈

Question

高二数学
求与圆x2+y2+8x+6y=0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 要有文字说明、证明过程. 越快越好哈

Answer 1

此圆的方程改写为:(x+4)^2+(y+3)^2=25
说明此圆圆心在点(-4,-3),半径为5,且此圆过坐标原点.
只有与坐标轴成45°或者135°夹角的直线才能在两坐标轴上的截距相等.也就是直线的斜率为1或者-1.
因此,符合条件的直线有四条,斜率为1的两条,斜率为-1的两条.
而且这4条直线分别过圆上的4个切点,这4个切点坐标为过圆心的两条斜率分别为1和-1的直线与园的交点.
先求切点坐标:设过圆心且斜率为1和-1的直线方程分别为:
y=x+b和y=-x+c,代入圆心坐标得两方程分别为:y=x+1和y=-x-7,代入圆方程,解得此二直线与圆的交点坐标分别为:[(5√2)/2-4,(5√2)/2-3];
[-(5√2)/2-4,-(5√2)/2-3];和[-(5√2)/2-4,(5√2)/2-3];[(5√2)/2-4,-(5√2)/2-3];
所求直线过此4点,设直线方程为y=±x+b,
过点[(5√2)/2-4,(5√2)/2-3]的直线应为y=-x+b,代入点坐标得
b=(5√2)+1,则直线方程为y=-x+(5√2)-7
过点[-(5√2)/2-4,-(5√2)/2-3]的直线应为y=-x+b,代入点坐标得
b=-(5√2)-7,则直线方程为y=-x-(5√2)-7
过点[-(5√2)/2-4,(5√2)/2-3]的直线应为y=x+b,代入点坐标得
b=(5√2)+1,则直线方程为y=x+(5√2)+1
过点[(5√2)/2-4,-(5√2)/2-3]的直线应为y=x+b,代入点坐标得
b=(5√2)+1,则直线方程为y=x-(5√2)+1